ધારો કે વક્રો 4(x^{2}+y^{2}) = 9 અને y^{2} = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}$ છે અને પરવલય $y^{2} = 4x$ છે.પરવલય $y^{2} = 4x$ નો સ્પર્શક $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ સ્

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(B) વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}$ છે અને પરવલય $y^{2} = 4x$ છે.પરવલય $y^{2} = 4x$ નો સ્પર્શક $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ સ્પર્શકનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા $\frac{3}{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.$\frac{|m(0) - 0 + 1/m|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{1}{|m|\sqrt{m^{2} + 1}} = \frac{3}{2}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{m^{2}(m^{2} + 1)} = \frac{9}{4} \Rightarrow 9m^{4} + 9m^{2} - 4 = 0$.$m^{2}$ માટે ઉકેલતા: $(3m^{2} - 1)(3m^{2} + 4) = 0$. $m^{2} > 0$ હોવાથી,$m^{2} = \frac{1}{3}$,તેથી $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.સામાન્ય સ્પર્શકો $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ અને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - \sqrt{3}$ છે.આ સ્પર્શકો $x$-અક્ષ પર બિંદુ $Q$ માં છેદે છે જ્યાં $y=0$. $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ માં $y=0$ મૂકતા $x = -3$ મળે છે. આમ,$Q = (-3, 0)$.લંબાઈ $OQ = |-3| = 3$. ઉપવલય માટે અર્ધ-લઘુ અક્ષ $b = 3$ અને અર્ધ-ગુરુ અક્ષ $a = 6$ છે.ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ $\Rightarrow 9 = 36(1 - e^{2})$ $\Rightarrow 1 - e^{2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow e^{2} = \frac{3}{4}$.નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 	imes 9}{6} = 3$.તેથી,$\frac{l}{e^{2}} = \frac{3}{3/4} = 4$.

Similar Questions

ઉપવલય $x^2+4y^2=64$ માં અંતર્ગત મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસની બાજુઓ છે:

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{14} + \frac{y^2}{5} = 1$ પરના બિંદુ $P(\theta)$ આગળનો અભિલંબ તેને ફરીથી બિંદુ $Q(2\theta)$ પર છેદે,તો $\cos \theta$ ની કિંમત શોધો.

જો રેખાઓ $2x - y + 3 = 0$ અને $4x + ky + 3 = 0$ એ ઉપવલય $5x^2 + 6y^2 - 15 = 0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી (conjugate) હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module