मान लीजिए कि समतलों $x+2y+az=2$ और $x-y+z=3$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $5x-11y+bz=6a-1$ है। $c \in \mathbb{Z}$ के लिए,यदि इस समतल की बिंदु $(a, -c, c)$ से दूरी $\frac{2}{\sqrt{a}}$ है,तो $\frac{a+b}{c}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समतल $ax+by+cz+1=0$, दो समतलों $2x-2y+z=0$ और $x-y+2z=4$ के लंबवत है और बिंदु $(1, -2, 1)$ से होकर गुजरता है। तो $a+b-c=$

सरल रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{3-y}{-4}=\frac{z-4}{5}$ और समतल $2x-2y+z=5$ के बीच के कोण की ज्या (sine) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\ell_1$ और $\ell_2$ रेखाएँ $\vec{r}_1=\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ और $\vec{r}_2=(\hat{j}-\hat{k})+\mu(\hat{i}+\hat{k})$ हैं। मान लीजिए $X$ उन सभी समतलों $H$ का समुच्चय है जो रेखा $\ell_1$ को समाहित करते हैं। एक समतल $H$ के लिए,$d(H)$ रेखा $\ell_2$ के बिंदुओं और $H$ के बीच की न्यूनतम संभव दूरी को दर्शाता है। मान लीजिए $H_0$ समुच्चय $X$ में वह समतल है जिसके लिए $d(H_0)$,$X$ के सभी समतलों में $d(H)$ का अधिकतम मान है। List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि को List-$II$ की सही प्रविष्टियों से सुमेलित करें।

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $d(H_0)$ का मान है	$(1)$ $\sqrt{3}$
$(Q)$ बिंदु $(0,1,2)$ की $H_0$ से दूरी है	$(2)$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$
$(R)$ मूल बिंदु की $H_0$ से दूरी है	$(3)$ $0$
$(S)$ मूल बिंदु की समतलों $y=z, x=1$ और $H_0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी है	$(4)$ $\sqrt{2}$
	$(5)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$

समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 17$,बिंदुओं $-2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ और $3\hat{i} - 5\hat{j} + 8\hat{k}$ को जोड़ने वाली रेखा को किस अनुपात में विभाजित करता है?

$k$ का वह मान,जिसके लिए रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ समतल $2x-4y+z=7$ पर स्थित है,है