मान लीजिए कि फलन f:R to R,f(x) = 2x + sin x, | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x + \sin x$ है,जहाँ $x \in R$ है।एकैकी (one-to-one) की जाँच करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 2 + \cos x$।चूँकि

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एकैकी और आच्छादक

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(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x + \sin x$ है,जहाँ $x \in R$ है।एकैकी (one-to-one) की जाँच करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 2 + \cos x$।चूँकि $-1 \le \cos x \le 1$,इसलिए $f'(x) = 2 + \cos x \ge 2 - 1 = 1 > 0$ है।चूँकि $f'(x) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए है,फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है,जिसका अर्थ है कि यह एकैकी है।आच्छादक (onto) की जाँच करने के लिए,हम $f(x)$ का परिसर देखते हैं। चूँकि $f(x)$ एक सतत फलन है और $\lim_{x 	o \infty} f(x) = \infty$ तथा $\lim_{x 	o -\infty} f(x) = -\infty$ है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $(-\infty, \infty) = R$ है।चूँकि परिसर सह-प्रांत के बराबर है,फलन आच्छादक है।अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक है।

मान लीजिए कि फलन $f:R \to R$,$f(x) = 2x + \sin x, x \in R$ द्वारा परिभाषित है। तो $f$ है

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