ધારો કે રેખા $L: \sqrt{2}x + y = \alpha$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 3$ અને પરવલય $x^2 = 2y$ ના છેદબિંદુ $P$ (પ્રથમ ચરણમાં) માંથી પસાર થાય છે. ધારો કે રેખા $L$ એ $2\sqrt{3}$ સમાન ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ને સ્પર્શે છે. જો વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો $Q_1$ અને $Q_2$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલા હોય,તો ત્રિકોણ $PQ_1Q_2$ ના ક્ષેત્રફળનો વર્ગ કેટલો થાય?

વર્તુળ $C_1: x^2+y^2=3$,જેનું કેન્દ્ર $O$ છે,તે પરવલય $x^2=2y$ ને પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ પર છેદે છે. ધારો કે $P$ આગળ વર્તુળ $C_1$ ને સ્પર્શક અન્ય બે વર્તુળો $C_2$ અને $C_3$ ને અનુક્રમે $R_2$ અને $R_3$ પર સ્પર્શે છે. ધારો કે $C_2$ અને $C_3$ ની ત્રિજ્યા સમાન $2\sqrt{3}$ છે અને તેમના કેન્દ્રો અનુક્રમે $Q_2$ અને $Q_3$ છે. જો $Q_2$ અને $Q_3$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલા હોય,તો:
$(A)$ $Q_2Q_3=12$
$(B)$ $R_2R_3=4\sqrt{6}$
$(C)$ ત્રિકોણ $OR_2R_3$ નું ક્ષેત્રફળ $6\sqrt{2}$ છે
$(D)$ ત્રિકોણ $PQ_2Q_3$ નું ક્ષેત્રફળ $4\sqrt{2}$ છે

$(0, 0)$ અને $(1, 0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા અને $x^2 + y^2 = 9$ વર્તુળને સ્પર્શતા વર્તુળ(ઓ)નું કેન્દ્ર (કેન્દ્રો) શોધો:

પરવલય $y^2 = 4x + 16$ નું નાભિ એ $5$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર છે. જો $\lambda$ ના મૂલ્યો,જેના માટે $C$ એ રેખાઓ $3x - y = 0$ અને $x + \lambda y = 4$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તે $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ $(\lambda_1 < \lambda_2)$ હોય,તો $12\lambda_1 + 29\lambda_2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

વર્તુળોના સમીકરણો ધ્યાનમાં લો:
$S_1 : x^2 + y^2 + 24x - 10y + a = 0$
$S_2 : x^2 + y^2 = 36$
નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?

જો ઉપવલય $16 x^2+11 y^2=256$ પરના બિંદુ $\left(4 \cos 2 \theta, \frac{16}{\sqrt{11}} \sin 2 \theta\right)$ આગળનો સ્પર્શક વર્તુળ $x^2+y^2-2 x=15$ ને સ્પર્શતો હોય,તો $\theta=$