ધારો કે સમતલ $ax + by + cz = d$ એ $(2, 3, -5)$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલો $2x + y - 5z = 10$ અને $3x + 5y - 7z = 12$ ને લંબ છે. જો $a, b, c, d$ પૂર્ણાંકો હોય,$d > 0$ અને $\text{gcd}(|a|, |b|, |c|, d) = 1$ હોય,તો $a + 7b + c + 20d$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે સમતલ $ax+by+cz+d=0$ એ બિંદુઓ $(4,-3,1)$ અને $(2,3,-5)$ ને જોડતી રેખાને કાટખૂણે દુભાગે છે. જો $a, b, c, d$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોય,તો $(a^2+b^2+c^2+d^2)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

એક સમતલ $X, Y, Z$-અક્ષોને અનુક્રમે $A, B, C$ બિંદુઓમાં મળે છે. જો $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(2, -3, 5)$ હોય,તો ઉગમબિંદુથી આપેલા સમતલનું લંબ અંતર શોધો.

વિધાન: બિંદુઓ $(2, 1, 5)$ અને $(3, 4, 3)$ સમતલ $2x + 2y - 2z - 1 = 0$ ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલા છે.
કારણ: આપેલા બિંદુઓથી સમતલના બૈજિક લંબ અંતર વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવે છે.

એક સમતલ યામ અક્ષોને $A, B, C$ બિંદુઓમાં મળે છે અને $(\alpha, \beta, \gamma)$ એ ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. તો સમતલનું સમીકરણ શું થાય?

એક સમતલ $\pi_1$ જે બિંદુ $3 \hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ ને લંબ છે, અને બીજું સમતલ $\pi_2$ જે બિંદુ $2 \hat{i}+7 \hat{j}-8 \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ ને લંબ છે. જો $p_1$ અને $p_2$ એ ઉગમબિંદુથી સમતલો $\pi_1$ અને $\pi_2$ ના લંબ અંતરો હોય, તો $p_1-p_2=$