ધારો કે વક્ર y=f(x) ના બિંદુ (x, y) આગળ સ્પર્ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2 	an x(\cos x - y)$ છે.આને સુરેખ વિકલ સમીકરણ તરીકે લખતા: $\frac{dy}{dx} + (2 	an x)y = 2 \sin x$.સંકલ્યકારક અવયવ

Vedclass · Accepted Answer

$2-\frac{\pi}{\sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(B) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2 	an x(\cos x - y)$ છે.આને સુરેખ વિકલ સમીકરણ તરીકે લખતા: $\frac{dy}{dx} + (2 	an x)y = 2 \sin x$.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int 2 	an x \, dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ છે.બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx}(y \sec^2 x) = 2 \sin x \sec^2 x = 2 \sec x 	an x$ મળે.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$y \sec^2 x = 2 \sec x + C$,જેનું સાદું રૂપ $y = 2 \cos x + C \cos^2 x$ થાય છે.વક્ર બિંદુ $(\frac{\pi}{4}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = 2 \cos(\frac{\pi}{4}) + C \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) + C(\frac{1}{2}) = \sqrt{2} + \frac{C}{2}$.આમ,$C = -2\sqrt{2}$,અને વક્રનું સમીકરણ $y = 2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x$ છે.હવે,$\int_{0}^{\pi / 2} y \, dx = \int_{0}^{\pi / 2} (2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x) \, dx$.$= [2 \sin x]_{0}^{\pi / 2} - 2\sqrt{2} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx$.$= 2(1 - 0) - \sqrt{2} [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi / 2} = 2 - \sqrt{2}(\frac{\pi}{2}) = 2 - \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(x + \log y)dy + y\,dx = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1 - x^2)\frac{dy}{dx} - xy = 1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module