रेखा $(2x - 3y + 4) + k(x - 2y + 3) = 0, k \in R$ में बिंदु $(2, 3)$ के प्रतिबिंब का बिंदुपथ क्या है?

माना फलन $f(x) = 2x^{2} - \log_{e} x$,$x > 0$,अंतराल $(0, a)$ में ह्रासमान है और $(a, 4)$ में वर्धमान है। परवलय $y^{2} = 4ax$ के एक बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदु $(8a, 8a - 1)$ से होकर गुजरती है लेकिन बिंदु $(-\frac{1}{a}, 0)$ से होकर नहीं गुजरती है। यदि $P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $P(x_1, y_1)$ एक ऐसा बिंदु है कि इससे वृत्तों $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ और $x^2+y^2+6x+18y+26=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $2:3$ है,तो $P$ का बिंदुपथ क्या है?

एक वृत्त $x$-अक्ष पर $4a$ लंबाई की जीवा काटता है और $y$-अक्ष पर मूल बिंदु से $2b$ की दूरी पर स्थित एक बिंदु से होकर गुजरता है। तो इस वृत्त के केंद्र का बिंदु पथ है

माना $P(\alpha, \beta)$ एक चर बिंदु है जो $x-y$ समतल में इस प्रकार गति करता है कि $\frac{PA}{PB} = 2$,जहाँ $A(1, 0)$ और $B(0, -1)$ हैं। यदि $M$ और $m$ क्रमशः $\alpha + \beta$ का अधिकतम और न्यूनतम मान दर्शाते हैं,तो $[\frac{M}{m}]$ का मान ज्ञात कीजिए- (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है)

यदि एक चर बिंदु $P(x, y)$ की बिंदु $A(2, -2)$ से दूरी,$P$ की $Y$-अक्ष से दूरी की दोगुनी है,तो $P$ के बिंदु पथ (locus) का समीकरण क्या है?