सम्मिश्र तल में इकाई वृत्त |z|=1 पर धनात्मक ल | vedclass

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Question

(D) इकाई के मूल समीकरण $z^n = 1$ के हलों द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $n \in \mathbb{N}$ है।ये मूल $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ के रूप में होते हैं,जहाँ

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इकाई के अनंत मूल हैं

Vedclass · Answer

(D) इकाई के मूल समीकरण $z^n = 1$ के हलों द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $n \in \mathbb{N}$ है।ये मूल $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ के रूप में होते हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ है।जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,इकाई के सभी मूलों का समुच्चय $\bigcup_{n=1}^{\infty} \{e^{i \frac{2k\pi}{n}} : k=0, 1, \dots, n-1\}$ इकाई वृत्त $|z|=1$ पर सघन (dense) हो जाता है।चूँकि धनात्मक लंबाई के किसी भी चाप पर इस सघन समुच्चय के अनंत बिंदु स्थित होते हैं,इसलिए ऐसे किसी भी चाप पर इकाई के अनंत मूल होते हैं।अतः,सही विकल्प $D$ है।

सम्मिश्र तल में इकाई वृत्त $|z|=1$ पर धनात्मक लंबाई के किसी भी दिए गए चाप पर,

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