સાબિત કરો કે વક્રો $x=y^{2}$ અને $xy=k$ કાટખૂણે છેદે છે જો $8k^{2}=1$ હોય.

(N/A) આપેલા વક્રોના સમીકરણો $x=y^{2}$ અને $xy=k$ છે.
$xy=k$ માં $x=y^{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y^{2} \cdot y = k \Rightarrow y^{3} = k \Rightarrow y = k^{1/3}$.
તેથી,$x = (k^{1/3})^{2} = k^{2/3}$.
આમ,છેદબિંદુ $(k^{2/3}, k^{1/3})$ છે.
$x=y^{2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
$(k^{2/3}, k^{1/3})$ આગળ $x=y^{2}$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $(m_{1})$ $m_{1} = \frac{1}{2k^{1/3}}$ છે.
$xy=k$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
$(k^{2/3}, k^{1/3})$ આગળ $xy=k$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $(m_{2})$ $m_{2} = -\frac{k^{1/3}}{k^{2/3}} = -\frac{1}{k^{1/3}}$ છે.
બે વક્રો કાટખૂણે છેદે જો તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$m_{1} \cdot m_{2} = -1$
$\left(\frac{1}{2k^{1/3}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{k^{1/3}}\right) = -1$
$-\frac{1}{2k^{2/3}} = -1$
$2k^{2/3} = 1$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને મળે છે:
$(2k^{2/3})^{3} = 1^{3} \Rightarrow 8k^{2} = 1$.
આમ,વક્રો કાટખૂણે છેદે છે જો $8k^{2}=1$ હોય.