गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $n(n^{2}+5)$,$6$ से विभाज्य है।

(A) माना $P(n): n(n^{2}+5)$,प्रत्येक $n \in N$ के लिए $6$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$P(1) = 1(1^{2}+5) = 6$,जो $6$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: माना किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $k(k^{2}+5) = 6m$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए। $(i)$
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $(k+1)((k+1)^{2}+5)$,$6$ से विभाज्य है।
$(k+1)((k+1)^{2}+5) = (k+1)(k^{2}+2k+6) = k(k^{2}+5) + 3k^{2} + 3k + 6$
$= 6m + 3k(k+1) + 6$
चूंकि $k(k+1)$ दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,इसलिए यह हमेशा सम होता है,अर्थात $k(k+1) = 2p$।
$= 6m + 3(2p) + 6 = 6(m+p+1)$,जो $6$ से विभाज्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ प्रत्येक $n \in N$ के लिए सत्य है।