दिखाइए कि बिंदु $A(2, 2)$,$B(-2, 2)$,$C(-2, -2)$ और $D(2, -2)$ एक वर्ग के शीर्ष हैं।
(A) माना कि दिए गए बिंदु $A(2, 2)$,$B(-2, 2)$,$C(-2, -2)$ और $D(2, -2)$ हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि ये बिंदु एक वर्ग बनाते हैं,हमें यह दिखाना होगा कि चारों भुजाएँ बराबर हैं और दोनों विकर्ण भी बराबर हैं।
$1$. दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$CD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$DA = \sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
चूंकि $AB = BC = CD = DA = 4$,इसलिए सभी भुजाएँ बराबर हैं।
$2$. विकर्णों की लंबाई ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ इकाई।
$BD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ इकाई।
चूंकि भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं,इसलिए बिंदु $A, B, C, D$ एक वर्ग बनाते हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि ये बिंदु एक वर्ग बनाते हैं,हमें यह दिखाना होगा कि चारों भुजाएँ बराबर हैं और दोनों विकर्ण भी बराबर हैं।
$1$. दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$CD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
$DA = \sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$ इकाई।
चूंकि $AB = BC = CD = DA = 4$,इसलिए सभी भुजाएँ बराबर हैं।
$2$. विकर्णों की लंबाई ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ इकाई।
$BD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ इकाई।
चूंकि भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं,इसलिए बिंदु $A, B, C, D$ एक वर्ग बनाते हैं।
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