સાબિત કરો કે $f: N \rightarrow N$,જે $f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{જો } x \text{ એકી હોય} \\ x-1, & \text{જો } x \text{ બેકી હોય} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.

(A) ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
જો $x_1$ એકી હોય અને $x_2$ બેકી હોય,તો $x_1+1 = x_2-1$,જેનો અર્થ છે કે $x_2-x_1 = 2$. બેકી અને એકી સંખ્યાનો તફાવત હંમેશા એકી હોય છે,તેથી $x_2-x_1 = 2$ શક્ય નથી.
તે જ રીતે,જો $x_1$ બેકી હોય અને $x_2$ એકી હોય,તો $x_1-1 = x_2+1$,એટલે કે $x_1-x_2 = 2$,જે પણ અશક્ય છે.
તેથી,$x_1$ અને $x_2$ બંને એકી અથવા બંને બેકી હોવા જોઈએ.
જો બંને એકી હોય,તો $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1+1 = x_2+1 \Rightarrow x_1 = x_2$.
જો બંને બેકી હોય,તો $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1-1 = x_2-1 \Rightarrow x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત માટે,કોઈપણ $y \in N$ લો. જો $y$ એકી હોય,તો $y = 2r+1$ કોઈ $r \ge 0$ માટે. તો $f(2r+2) = (2r+2)-1 = 2r+1 = y$. જો $y$ બેકી હોય,તો $y = 2r$ કોઈ $r \ge 1$ માટે. તો $f(2r-1) = (2r-1)+1 = 2r = y$. દરેક $y \in N$ માટે $N$ માં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ હોવાથી,$f$ વ્યાપ્ત છે.