सिद्ध कीजिए कि $f: N \rightarrow N$,जो $f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{यदि } x \text{ विषम है} \\ x-1, & \text{यदि } x \text{ सम है} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,एकैकी और आच्छादक है।

(A) मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।
यदि $x_1$ विषम है और $x_2$ सम है,तो $x_1+1 = x_2-1$,जिसका अर्थ है $x_2-x_1 = 2$। सम और विषम संख्या का अंतर हमेशा विषम होता है,इसलिए $x_2-x_1 = 2$ संभव नहीं है।
इसी प्रकार,यदि $x_1$ सम है और $x_2$ विषम है,तो $x_1-1 = x_2+1$,अर्थात $x_1-x_2 = 2$,जो भी असंभव है।
अतः,$x_1$ और $x_2$ दोनों को विषम या दोनों को सम होना चाहिए।
यदि दोनों विषम हैं,तो $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1+1 = x_2+1 \Rightarrow x_1 = x_2$।
यदि दोनों सम हैं,तो $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1-1 = x_2-1 \Rightarrow x_1 = x_2$।
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक के लिए,कोई भी $y \in N$ लें। यदि $y$ विषम है,तो $y = 2r+1$ किसी $r \ge 0$ के लिए। तब $f(2r+2) = (2r+2)-1 = 2r+1 = y$। यदि $y$ सम है,तो $y = 2r$ किसी $r \ge 1$ के लिए। तब $f(2r-1) = (2r-1)+1 = 2r = y$। चूँकि प्रत्येक $y \in N$ का $N$ में पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है,इसलिए $f$ आच्छादक है।