सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित चार स्थितियाँ समतुल्य हैं:
$(i) A \subset B, \quad (ii) A - B = \phi, \quad (iii) A \cup B = B, \quad (iv) A \cap B = A$

(A) हमें सिद्ध करना है कि $(i) \Leftrightarrow (ii) \Leftrightarrow (iii) \Leftrightarrow (iv)$।
$(i) \Leftrightarrow (ii)$:
मान लीजिए $A \subset B$ है। यदि $x \in A - B$ है,तो $x \in A$ और $x \notin B$ है। लेकिन $A \subset B$ का अर्थ है $x \in A \Rightarrow x \in B$,जो $x \notin B$ का विरोधाभास है। अतः,$A - B = \phi$ है।
इसके विपरीत,यदि $A - B = \phi$ है,तो $A \subset B$ सिद्ध होता है।
$(i) \Leftrightarrow (iii)$:
मान लीजिए $A \subset B$ है। चूँकि $B \subset A \cup B$ हमेशा सत्य है,हमें केवल $A \cup B \subset B$ सिद्ध करना है। यदि $x \in A \cup B$ है,तो $x \in A$ या $x \in B$ है। यदि $x \in A$ है,तो $x \in B$ (क्योंकि $A \subset B$)। अतः,$A \cup B = B$ है।
इसके विपरीत,यदि $A \cup B = B$ है,तो $A \subset B$ सिद्ध होता है।
$(i) \Leftrightarrow (iv)$:
मान लीजिए $A \subset B$ है। चूँकि $A \cap B \subset A$ हमेशा सत्य है,हमें $A \subset A \cap B$ सिद्ध करना है। यदि $x \in A$ है,तो $x \in B$ (क्योंकि $A \subset B$)। अतः,$x \in A \cap B$,जिसका अर्थ है $A \cap B = A$ है।
इसके विपरीत,यदि $A \cap B = A$ है,तो $A \subset B$ सिद्ध होता है।