સાબિત કરો કે $(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ $\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{n!} 2^n x^n$ છે,જ્યાં $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે.

કારણ કે $2n$ યુગ્મ છે,તેથી $(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ $(\frac{2n}{2} + 1)$ મું પદ,એટલે કે $(n+1)$ મું પદ છે.
$(n+1)$ મું પદ નીચે મુજબ મળે છે:
$T_{n+1} = {}^{2n}C_n (1)^{2n-n} (x)^n = {}^{2n}C_n x^n = \frac{(2n)!}{n!n!} x^n$
$= \frac{2n(2n-1)(2n-2) \cdots 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{n!n!} x^n$
$= \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)] \cdot [2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)]}{n!n!} x^n$
$= \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)] \cdot 2^n [1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n]}{n!n!} x^n$
$= \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)] \cdot n!}{n!n!} 2^n x^n$
$= \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{n!} 2^n x^n$