સાબિત કરો કે ગણ $A=\{1,2,3,4,5\}$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R =\{(a, b):|a-b| \text{ યુગ્મ છે}\}$ એ સામ્ય સંબંધ છે. સાબિત કરો કે $\{1,3,5\}$ ના તમામ ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધિત છે અને $\{2,4\}$ ના તમામ ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધિત છે,પરંતુ $\{1,3,5\}$ નો કોઈ પણ ઘટક $\{2,4\}$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે સંબંધિત નથી.

(N/A) $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ અને $R = \{(a, b) : |a - b| \text{ યુગ્મ છે}\}$.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in A$ માટે,$|a - a| = 0$,જે યુગ્મ છે. તેથી,$(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R$. તો $|a - b|$ યુગ્મ છે. કારણ કે $|a - b| = |b - a|$,તેથી $|b - a|$ પણ યુગ્મ છે. આમ,$(b, a) \in R$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$. તો $|a - b|$ યુગ્મ છે અને $|b - c|$ યુગ્મ છે. ધારો કે $|a - b| = 2k$ અને $|b - c| = 2m$ કોઈ પૂર્ણાંક $k, m$ માટે. તો $(a - c) = (a - b) + (b - c) = \pm 2k \pm 2m = 2(\pm k \pm m)$,જે યુગ્મ છે. તેથી,$|a - c|$ યુગ્મ છે,એટલે કે $(a, c) \in R$. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે.
ઉપગણો માટે: $\{1, 3, 5\}$ ના તમામ ઘટકો એકી છે. બે એકી સંખ્યાઓનો તફાવત હંમેશા યુગ્મ હોય છે,તેથી તેઓ સંબંધિત છે. $\{2, 4\}$ ના તમામ ઘટકો બેકી છે. બે બેકી સંખ્યાઓનો તફાવત હંમેશા યુગ્મ હોય છે,તેથી તેઓ સંબંધિત છે. જોકે,એકી અને બેકી સંખ્યાનો તફાવત હંમેશા એકી હોય છે,તેથી $\{1, 3, 5\}$ નો કોઈ પણ ઘટક $\{2, 4\}$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે સંબંધિત નથી.