સાબિત કરો કે સમતલમાં આવેલા બિંદુઓના ગણ $A$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R = \{(P, Q) : \text{બિંદુ } P \text{ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ બિંદુ } Q \text{ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું જ છે}\}$ એ સામ્ય સંબંધ છે. વધુમાં,સાબિત કરો કે $P \neq (0, 0)$ સાથે સંબંધિત તમામ બિંદુઓનો ગણ એ ઉગમબિંદુને કેન્દ્ર તરીકે ધરાવતું અને $P$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ છે.

(N/A) $R = \{(P, Q) : \text{બિંદુ } P \text{ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ બિંદુ } Q \text{ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું જ છે}\}$.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ બિંદુ $P \in A$ માટે,$P$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $P$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું જ હોય. તેથી,$(P, P) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $(P, Q) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $P$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $Q$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું છે. આ સૂચવે છે કે $Q$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $P$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું છે. તેથી,$(Q, P) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(P, Q) \in R$ અને $(Q, S) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $P$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $Q$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું છે,અને $Q$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $S$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું છે. પરિણામે,$P$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $S$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું થાય. તેથી,$(P, S) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.
બીજા ભાગ માટે,$P \neq (0, 0)$ સાથે સંબંધિત તમામ બિંદુઓનો ગણ એવા તમામ બિંદુઓ $Q$ નો બનેલો છે જેનું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $P$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું હોય. ધારો કે $OP = k$. તો આવા તમામ બિંદુઓ $Q$ ઉગમબિંદુથી $k$ જેટલા અચળ અંતરે આવેલા છે. આ ઉગમબિંદુને કેન્દ્ર અને $k$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળની વ્યાખ્યા છે,જે $P$ માંથી પસાર થાય છે.