सिद्ध कीजिए कि समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय $A$ में संबंध $R = \{(P, Q) : \text{बिंदु } P \text{ की मूलबिंदु से दूरी, बिंदु } Q \text{ की मूलबिंदु से दूरी के समान है}\}$ एक तुल्यता संबंध है। आगे,सिद्ध कीजिए कि बिंदु $P \neq (0, 0)$ से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय मूलबिंदु को केंद्र मानकर खींचा गया एक वृत्त है जो $P$ से होकर गुजरता है।

(N/A) $R = \{(P, Q) : \text{बिंदु } P \text{ की मूलबिंदु से दूरी, बिंदु } Q \text{ की मूलबिंदु से दूरी के समान है}\}$.
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी बिंदु $P \in A$ के लिए,$P$ की मूलबिंदु से दूरी,$P$ की मूलबिंदु से दूरी के बराबर होती है। अतः,$(P, P) \in R$. इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $(P, Q) \in R$. इसका अर्थ है कि $P$ की मूलबिंदु से दूरी,$Q$ की मूलबिंदु से दूरी के समान है। यह दर्शाता है कि $Q$ की मूलबिंदु से दूरी,$P$ की मूलबिंदु से दूरी के समान है। अतः,$(Q, P) \in R$. इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(P, Q) \in R$ और $(Q, S) \in R$. इसका अर्थ है कि $P$ की मूलबिंदु से दूरी,$Q$ की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है,और $Q$ की मूलबिंदु से दूरी,$S$ की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है। परिणामस्वरूप,$P$ की मूलबिंदु से दूरी,$S$ की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है। अतः,$(P, S) \in R$. इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
दूसरे भाग के लिए,$P \neq (0, 0)$ से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय उन सभी बिंदुओं $Q$ से बना है जिनकी मूलबिंदु से दूरी,$P$ की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है। मान लीजिए $OP = k$. तो ऐसे सभी बिंदु $Q$ मूलबिंदु से $k$ की स्थिर दूरी पर स्थित हैं। यह मूलबिंदु को केंद्र और $k$ त्रिज्या वाले वृत्त की परिभाषा है,जो $P$ से होकर गुजरता है।