मान लीजिए R एक वास्तविक रेखा है। मान लीजिए R | vedclass

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Question

(B) किसी संबंध को तुल्यता संबंध होने के लिए, उसे स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होना चाहिए।$1$. $S = \{(x, y) : y = x + 1, 0 < x < 2\}$ का विश्लेषण:- स्व

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$T$ $R$ पर एक तुल्यता संबंध है लेकिन $S$ नहीं है

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(B) किसी संबंध को तुल्यता संबंध होने के लिए, उसे स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होना चाहिए।$1$. $S = \{(x, y) : y = x + 1, 0 - स्वतुल्यता: $S$ के स्वतुल्य होने के लिए, सभी $x \in R$ के लिए $(x, x) \in S$ होना चाहिए। इसके लिए $x = x + 1$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है $0 = 1$, जो एक विरोधाभास है। अतः, $S$ स्वतुल्य नहीं है।- सममितता: $S$ के सममित होने के लिए, यदि $(x, y) \in S$, तो $(y, x) \in S$ होना चाहिए। यदि $(x, y) \in S$, तो $y = x + 1$ है। $(y, x) \in S$ के लिए, हमें $x = y + 1$ चाहिए। $y$ का मान रखने पर, $x = (x + 1) + 1 = x + 2$ प्राप्त होता है, जो असंभव है। अतः, $S$ सममित नहीं है।- चूंकि $S$ न तो स्वतुल्य है और न ही सममित, यह एक तुल्यता संबंध नहीं है।$2$. $T = \{(x, y) : (x - y) \in \mathbb{Z}\}$ का विश्लेषण:- स्वतुल्यता: $(x - x) = 0$, जो एक पूर्णांक है। अतः, $(x, x) \in T$.- सममितता: यदि $(x, y) \in T$, तो $(x - y) = k$ जहाँ $k \in \mathbb{Z}$। तब $(y - x) = -k$, जो भी एक पूर्णांक है। अतः, $(y, x) \in T$.- संक्रामकता: यदि $(x, y) \in T$ और $(y, z) \in T$, तो $(x - y) = k_1$ और $(y - z) = k_2$ जहाँ $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$। इन्हें जोड़ने पर, $(x - z) = k_1 + k_2$, जो एक पूर्णांक है। अतः, $(x, z) \in T$.- चूंकि $T$ स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, यह एक तुल्यता संबंध है।अतः, $T$ $R$ पर एक तुल्यता संबंध है लेकिन $S$ नहीं है।

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