अवकल समीकरण 2xy frac{dy}{dx} = x^2 + 3y^2 का | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y^2$ है,जो एक समघातीय अवकल समीकरण है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 3y^2}{2xy}$ के रूप में लिखा

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$x^2 + y^2 = px^3$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y^2$ है,जो एक समघातीय अवकल समीकरण है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 3y^2}{2xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + 3(vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1 + 3v^2)}{2x^2v} = \frac{1 + 3v^2}{2v}$।अतः,$x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + 3v^2}{2v} - v = \frac{1 + 3v^2 - 2v^2}{2v} = \frac{1 + v^2}{2v}$।चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1 + v^2} dv = \frac{1}{x} dx$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2v}{1 + v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$।इससे $\ln(1 + v^2) = \ln|x| + \ln|p|$ प्राप्त होता है,जहाँ $\ln|p|$ समाकलन स्थिरांक है।अतः,$1 + v^2 = px$,जिसका अर्थ है $1 + \frac{y^2}{x^2} = px$।$x^2$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + y^2 = px^3$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y^2$ का हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $p$ एक स्थिरांक है):

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