मान लीजिए left| begin{array}{cc} f'(x) & f(x) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) दिया गया सारणिक: $\left| \begin{array}{cc} f'(x) & f(x) \ f''(x) & f'(x) \end{array} ight| = 0$इसका अर्थ है $(f'(x))^2 - f(x)f''(x) = 0$.$(f'(x

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया सारणिक: $\left| \begin{array}{cc} f'(x) & f(x) \ f''(x) & f'(x) \end{array} ight| = 0$इसका अर्थ है $(f'(x))^2 - f(x)f''(x) = 0$.$(f'(x))^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f'(x)f'(x) - f(x)f''(x)}{(f'(x))^2} = 0$,जो भागफल नियम के अनुसार $\frac{f(x)}{f'(x)}$ का अवकलज है।अतः,$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{f'(x)} ight) = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{f(x)}{f'(x)} = C$ (एक स्थिरांक)।प्रारंभिक शर्तों $f(0) = 1$ और $f'(0) = 2$ का उपयोग करने पर,हमें $C = \frac{f(0)}{f'(0)} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।इसलिए,$\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = 2x + k$। चूँकि $f(0) = 1$,इसलिए $k = 0$,अतः $f(x) = e^{2x}$।हमें $e^{2x} = x^2$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।मान लीजिए $g(x) = e^{2x} - x^2$। $g'(x) = 2e^{2x} - 2x = 2(e^{2x} - x)$। सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{2x} > x$ होता है,इसलिए $g'(x) > 0$,अतः $g(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।जब $x 	o -\infty$,तब $g(x) 	o \infty$। जब $x 	o 0$,तब $g(0) = 1$। जब $x 	o -\infty$,तब $e^{2x} 	o 0$ और $x^2 	o \infty$। इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,यहाँ केवल एक हल मौजूद है।

Similar Questions

सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} a^2 & a & 1 \\ \cos(nx) & \cos(n+1)x & \cos(n+2)x \\ \sin(nx) & \sin(n+1)x & \sin(n+2)x \end{array} \right|$ का मान किससे स्वतंत्र है?

यदि $A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ x^2+1 & 2x^2+1 & 3x^2+1 \end{array} \right|$ है, तो $\int_0^1 A(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) है

मान लीजिए $\Delta = \begin{vmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi & 0 \end{vmatrix}$. तो:

आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module