उन रेखाओं के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए जिन | vedclass

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Question

(C) दिए गए समीकरण हैं:$l+m+n=0$  ... $(i)$$2lm+2ln-mn=0$  ... (ii)$(i)$ से,$m+n = -l$. इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:$2l(m+n) - mn = 0$$2l(-l) - m

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$\frac{\pi}{3}$

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(C) दिए गए समीकरण हैं:$l+m+n=0$  ... $(i)$$2lm+2ln-mn=0$  ... (ii)$(i)$ से,$m+n = -l$. इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:$2l(m+n) - mn = 0$$2l(-l) - mn = 0 \Rightarrow mn = -2l^2$  ... (iii)हम जानते हैं कि $l^2+m^2+n^2 = 1$. साथ ही,$(m+n)^2 = m^2+n^2+2mn = (-l)^2 = l^2$.अतः,$m^2+n^2 = l^2 - 2mn = l^2 - 2(-2l^2) = 5l^2$.$l^2+m^2+n^2 = 1$ में मान रखने पर:$l^2 + 5l^2 = 1 \Rightarrow 6l^2 = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{6}$.माना दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।$mn = -2l^2$ और $m+n = -l$ से,$m$ और $n$ द्विघात समीकरण $t^2 + lt - 2l^2 = 0$ के मूल हैं।$(t+2l)(t-l) = 0 \Rightarrow t = -2l, l$.इस प्रकार,दिक्-अनुपात $(l, -2l, l)$ और $(l, l, -2l)$ के समानुपाती हैं।इन्हें सामान्यीकृत करने पर,दिक्-कोसाइन $(1, -2, 1)$ और $(1, 1, -2)$ के समानुपाती हैं।माना $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.$\cos 	heta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{|1-2-2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.अतः,$	heta = \frac{\pi}{3}$.

उन रेखाओं के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए जिनकी दिक्-कोसाइन (direction cosines) समीकरणों $l+m+n=0$ और $2lm+2ln-mn=0$ द्वारा दी गई हैं।

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यदि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात $(2, 3, -6)$ और $(3, -4, 5)$ के समानुपाती हैं,तो उनके बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

$\left( \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ और $\left( \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ दिक-अनुपातों वाली रेखाओं के बीच का कोण ......... $^o$ है।

यदि दो रेखाओं की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) इस प्रकार हैं कि $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$, तो उनके बीच का कोण है

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