परवलय y=frac{x^2}{4 a} और वक्र y=frac{8 a^3}{ | vedclass

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Question

(D) दिए गए वक्र $y=\frac{x^2}{4 a}$ और $y=\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,दोनों समीकरणों को बराबर करने पर:$\frac{x^2}{4 a} = \fr

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$a^2(2 \pi-\frac{4}{3})$

Vedclass · Answer

(D) दिए गए वक्र $y=\frac{x^2}{4 a}$ और $y=\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,दोनों समीकरणों को बराबर करने पर:$\frac{x^2}{4 a} = \frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$$x^2(x^2+4 a^2) = 32 a^4$$x^4+4 a^2 x^2 - 32 a^4 = 0$$(x^2+8 a^2)(x^2-4 a^2) = 0$चूंकि $x^2 = -8 a^2$ संभव नहीं है,इसलिए $x^2 = 4 a^2$,अर्थात $x = \pm 2 a$.क्षेत्रफल $A = 2 \int_0^{2 a} (\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2} - \frac{x^2}{4 a}) dx$.$A = 2 [8 a^3 \int_0^{2 a} \frac{1}{x^2+(2 a)^2} dx - \frac{1}{4 a} \int_0^{2 a} x^2 dx]$$A = 2 [8 a^3 \cdot \frac{1}{2 a} 	an^{-1}(\frac{x}{2 a}) |_0^{2 a} - \frac{1}{4 a} \cdot \frac{x^3}{3} |_0^{2 a}]$$A = 2 [4 a^2 	an^{-1}(1) - \frac{1}{4 a} \cdot \frac{8 a^3}{3}]$$A = 2 [4 a^2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{2 a^2}{3}]$$A = 2 a^2 (\pi - \frac{2}{3}) = a^2(2 \pi - \frac{4}{3})$.

परवलय $y=\frac{x^2}{4 a}$ और वक्र $y=\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$ के बीच का क्षेत्रफल है

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