मान लीजिए AB XY-समतल में परवलय y^2 = 4ax का न | vedclass

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Question

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ और नाभिलंब $x = a$ द्वारा घिरे क्षेत्र $T$ का क्षेत्रफल:$	ext{Area}(T) = 2 \int_0^a \sqrt{4ax} \, dx = 4\sqrt{a} \int_0^a x^{1/

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(D) परवलय $y^2 = 4ax$ और नाभिलंब $x = a$ द्वारा घिरे क्षेत्र $T$ का क्षेत्रफल:$	ext{Area}(T) = 2 \int_0^a \sqrt{4ax} \, dx = 4\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{a} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} ight]_0^a = \frac{8}{3} a^2$.मान लीजिए $R$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं,जहाँ $y = \sqrt{4ax}$। आयत $PQRS$ के लिए चौड़ाई $(a - x)$ और ऊँचाई $2y$ है।आयत का क्षेत्रफल $A = 2y(a - x) = 4\sqrt{a}(ax^{1/2} - x^{3/2})$ है।अधिकतम क्षेत्रफल के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dA}{dx} = 4\sqrt{a} \left( \frac{a}{2\sqrt{x}} - \frac{3}{2}\sqrt{x} ight) = 0 \implies a = 3x \implies x = \frac{a}{3}$.अतः $y = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.आयत का अधिकतम क्षेत्रफल $A = 2 \left( \frac{2a}{\sqrt{3}} ight) \left( a - \frac{a}{3} ight) = \frac{8a^2}{3\sqrt{3}}$.अनुपात $\frac{	ext{area}(PQRS)}{	ext{area}(T)} = \frac{8a^2 / 3\sqrt{3}}{8a^2 / 3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

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