${\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ के विस्तार में $\frac{1}{x}$ का गुणांक है :-

${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{11}}$ के विस्तार में दो मध्य पद कौन से हैं?

$(x^5 + 4 \cdot 3^{-\log_{\sqrt{3}}\sqrt{x^3}})^{10}$ के विस्तार में $x^2$ के गुणांक और $x^{10}$ के गुणांक का अनुपात ज्ञात कीजिए।

$x$ का एक संभावित मान ज्ञात कीजिए,जिसके लिए $\left\{3^{\log _{3} \sqrt{25^{x-1}+7}}+3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}\right\}^{10}$ के विस्तार में $3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}$ की बढ़ती घातों में नौवां पद $180$ के बराबर है।

मान लीजिए $\alpha > 0$ सबसे छोटी संख्या है ताकि $(x^{2/3} + 2x^{-3})^{30}$ के विस्तार में एक पद $\beta x^{-\alpha}$ हो,जहाँ $\beta \in \mathbb{N}$ है। तो $\alpha$ का मान $.............$ है।

यदि $(1+\alpha x+\beta x^2)(1+x)^{11}$ के विस्तार में $x^{10}$ और $x^{11}$ के गुणांक क्रमशः $396$ और $144$ हैं,तो $\alpha^2+\beta^2=$