xy = ae^x + be^{-x} से स्वेच्छ अचर a और b को | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $xy = ae^x + be^{-x}$ है।सबसे पहले, बाईं ओर गुणन नियम (product rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$x \frac{dy}{dx} +

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$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy = 0$

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(A) दिया गया समीकरण $xy = ae^x + be^{-x}$ है।सबसे पहले, बाईं ओर गुणन नियम (product rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$x \frac{dy}{dx} + y = ae^x - be^{-x}$.अब, पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$x \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$.व्यंजक को सरल करने पर:$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$.चूंकि $ae^x + be^{-x} = xy$, इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = xy$.अतः अंतिम अवकल समीकरण है:$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy = 0$.

$xy = ae^x + be^{-x}$ से स्वेच्छ अचर $a$ और $b$ को विलुप्त करके प्राप्त अवकल समीकरण है

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स्वेच्छ अचर $m$ का विलोपन करके रेखाओं के कुल $y = mx + \frac{4}{m}$ का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

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उस अवकल समीकरण की कोटि क्या है जिसका हल $y=a \cos x+b \sin x+c e^{-x}$ है?

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