रेखा $r = 2i - 2j + 3k + \lambda (i - j + 4k)$ और समतल $r \cdot (i + 5j + k) = 5$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि रेखा $x-2y-z-5=0=x+y+3z-5$ से गुजरने वाले और रेखा $x+y+2z-7=0=2x+3y+z-2$ के समानांतर समतल का समीकरण $ax+by+cz=65$ है। तो बिंदु $(a, b, c)$ की समतल $2x+2y-z+16=0$ से दूरी $..........$ है।

मान लीजिए कि एक इकाई सदिश $\hat{OP}$ निर्देशांक अक्षों $OX, OY, OZ$ की धनात्मक दिशाओं के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाता है,जहाँ $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$ है। यदि $\hat{OP}$ बिंदुओं $(1, 2, 3)$,$(2, 3, 4)$ और $(1, 5, 7)$ से गुजरने वाले समतल के लंबवत है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

कथन-$1$: बिंदु $A(1, 0, 7)$,रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3}$ में बिंदु $B(1, 6, 3)$ का प्रतिबिंब है।
कथन-$2$: रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3}$,$A(1, 0, 7)$ और $B(1, 6, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है।

मान लीजिए कि $\triangle ABC$ के एक शीर्ष के निर्देशांक $A(0, 2, \alpha)$ हैं और अन्य दो शीर्ष रेखा $\frac{x+\alpha}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3}$ पर स्थित हैं। $\alpha \in \mathbb{Z}$ के लिए,यदि $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $21$ वर्ग इकाई है और रेखाखंड $BC$ की लंबाई $2\sqrt{21}$ इकाई है,तो $\alpha^2$ का मान $...........$ है।

स्थिति सदिश $\hat{i}-2 \hat{j}-6 \hat{k}$ वाले बिंदु की,बिंदु $(2, -3, -4)$ से गुजरने वाली और सदिश $6 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ के समांतर रेखा से दूरी कितनी इकाई है?