एक अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए,जिसके नाभियाँ $(5, 0)$ और $(-5, 0)$ हैं और जिसके संयुग्मी अक्ष की लंबाई $8$ है।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं और इसकी उत्केंद्रता $\frac{3}{2}$ है। अतिपरवलय पर प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु पर रेखा $2x + 3y = 6$ के लंबवत एक स्पर्श रेखा खींची गई है। यदि स्पर्श रेखा द्वारा $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं,तो $|6a| + |5b|$ का मान $..........$ है।

रेखाओं $\sqrt{3}x - y - 4\sqrt{3}t = 0$ और $\sqrt{3}tx + ty - 4\sqrt{3} = 0$ (जहाँ $t$ एक प्राचल है) के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ एक अतिपरवलय है,जिसकी उत्केंद्रता क्या है?

$(0, \pm 3)$ नाभियों और $(0, \pm \frac{\sqrt{11}}{2})$ शीर्षों वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $X$-अक्ष एक अतिपरवलय $H$ का अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) है और $Y$-अक्ष संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) है। यदि $H$ की उत्केंद्रता (eccentricity),दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ की उत्केंद्रता का व्युत्क्रम है,और यदि $(5, 4)$ अतिपरवलय $H$ पर स्थित एक बिंदु है,तो $H$ के अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई ज्ञात कीजिए।