अतिपरवलय $5x^{2}-y^{2}=5$ के स्पर्शरेखा का समीकरण जो बाहरी बिंदु $(2, 8)$ से होकर गुजरती है, है:

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) के लिए संयुग्मी अक्ष की लंबाई और अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई का अनुपात $3:2$ है,तो नाभियों के बीच की दूरी और दो नियताओं (directrices) के बीच की दूरी का अनुपात क्या होगा?

अतिपरवलय $x^2 - 2y^2 - 2 = 0$ पर स्थित किसी भी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) पर खींचे गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल क्या है?

एक अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए,जिसके नाभियाँ $(5, 0)$ और $(-5, 0)$ हैं और जिसके संयुग्मी अक्ष की लंबाई $8$ है।

अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ की अभिलंब जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ है

मान लीजिए $H: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ एक अतिपरवलय है जिसकी नाभियों के बीच की दूरी $6$ है और इसकी नियताओं के बीच की दूरी $\frac{8}{3}$ है। यदि रेखा $x = k$ अतिपरवलय $H$ को बिंदुओं $A$ और $B$ पर इस प्रकार काटती है कि त्रिभुज $AOB$ का क्षेत्रफल $4\sqrt{15}$ है, जहाँ $O$ मूलबिंदु है, तो $a^2$ का मान ज्ञात कीजिए।