એક ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો,જેના શિરોબિંદુઓ $(2, -2)$ અને $(2, 4)$ છે અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{1}{3}$ છે.

ધારો કે $A(\alpha, 0)$ અને $B(0, \beta)$ એ રેખા $5x + 7y = 50$ પરના બિંદુઓ છે. ધારો કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $7:3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. ધારો કે $3x - 25 = 0$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નિયામિકા છે અને તેને અનુરૂપ નાભિ $S$ છે. જો $S$ માંથી $x$-અક્ષ પર દોરેલો લંબ $P$ માંથી પસાર થતો હોય,તો $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી થાય?

જો નિયામિકાઓ (directrices) વચ્ચેનું અંતર નાભિઓ (foci) વચ્ચેના અંતર કરતાં ત્રણ ગણું હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

જો $4x + 2y + n = 0$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ નો અભિલંબ હોય,તો $n = $

ધારો કે $T_1$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{6}=1$ પરના બિંદુ $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ આગળ દોરેલો સ્પર્શક છે. જો $(\alpha, \beta)$ એ બિંદુ હોય જ્યાં $T_1$ એ ઉપવલયના બીજા સ્પર્શક $T_2$ ને લંબરૂપે છેદે છે,તો $\alpha^2+\beta^2=$

$2a$ અને $2b$ મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો ધરાવતા ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો સરવાળો કોના જેટલો થાય છે?