બિંદુ $(1, -1)$ આગળ વક્ર $y^3 + 2xy + x^3 = (x - 1)^3$ ના અભિલંબનું સમીકરણ શું છે?

જો વક્ર $x=a(\theta+\sin \theta), y=a(1-\cos \theta)$ પર $P\left(\theta=\frac{\pi}{2}\right)$ આગળ દોરેલા સ્પર્શક અને અભિલંબ $X$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ માં છેદે, તો $\triangle P A B$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

જો વક્ર $y=4x^4+x$ પરના બિંદુ $P$ આગળનો સ્પર્શક તે જ વક્ર પરના $(0,0)$ બિંદુ આગળના સ્પર્શકને લંબ હોય,તો બિંદુ $P$ શોધો.

જો $\beta$ એ વક્ર $x^2+3y^2=9$ પરના બિંદુઓ $P(3 \cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ અને $Q(-3 \sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ આગળ દોરેલા અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,જ્યાં $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$,તો:

ધારો કે $M$ અને $N$ એ વક્ર $y^{5}-9xy+2x=0$ પરના એવા બિંદુઓની સંખ્યા છે,જ્યાં વક્રના સ્પર્શકો અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષને સમાંતર હોય. તો $M + N$ નું મૂલ્ય $......$ થાય.

જો $(0,0)$ માંથી વક્ર $y=x^2+3x+4$ પર દોરેલા સ્પર્શકોના સ્પર્શબિંદુઓ $(\alpha, \beta)$ અને $(\gamma, \delta)$ હોય,તો $\beta+\delta=$