(1,0,0) और (0,1,0) से गुजरने वाले और समतल x+y | vedclass

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Question

(A) माना समतल का समीकरण $a(x-1) + by + cz = 0$ है,जिसे $ax + by + cz - a = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह $(0,1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $a(0) + b(1)

Vedclass · Accepted Answer

$x+y \pm \sqrt{2} z-1=0$

Vedclass · Answer

(A) माना समतल का समीकरण $a(x-1) + by + cz = 0$ है,जिसे $ax + by + cz - a = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह $(0,1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $a(0) + b(1) + c(0) - a = 0$,जिसका अर्थ है $b = a$। अतः समीकरण $ax + ay + cz - a = 0$ या $x + y + \frac{c}{a}z - 1 = 0$ बन जाता है। माना $k = \frac{c}{a}$,तो अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ है। समतल $x+y-3=0$ का अभिलंब $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ है। दोनों समतलों के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\cos(45^{\circ}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$। $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{4}{2(2+k^2)}$,जो $2+k^2 = 4$ देता है,इसलिए $k^2 = 2$,अर्थात $k = \pm \sqrt{2}$। $k$ का मान रखने पर,हमें $x + y \pm \sqrt{2}z - 1 = 0$ प्राप्त होता है।

$(1,0,0)$ और $(0,1,0)$ से गुजरने वाले और समतल $x+y-3=0$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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