આકૃતિ y=2x-4x^3 આલેખનો એક ભાગ દર્શાવે છે. રેખ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વક્ર $y=2x-4x^3$ છે. ધારો કે $2x-4x^3=c$ ના બીજ $a, b$ અને $\alpha$ છે. $4x^3-2x+c=0$ હોવાથી,$a+b+\alpha=0$,$ab+a\alpha+b\alpha=-\frac{1}{2}$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{\sqrt{7}}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વક્ર $y=2x-4x^3$ છે. ધારો કે $2x-4x^3=c$ ના બીજ $a, b$ અને $\alpha$ છે. $4x^3-2x+c=0$ હોવાથી,$a+b+\alpha=0$,$ab+a\alpha+b\alpha=-\frac{1}{2}$,અને $ab\alpha=-\frac{c}{4}$ મળે. આકૃતિ પરથી,પ્રદેશ $I$ નું ક્ષેત્રફળ $\int_a^b (2x-4x^3-c) dx$ છે અને પ્રદેશ $II$ નું ક્ષેત્રફળ $c(b-a)$ છે. આપેલ છે કે $\int_a^b (2x-4x^3-c) dx = c(b-a)$,તેથી $\int_a^b (2x-4x^3) dx = 2c(b-a)$. સંકલન કરતા: $[x^2-x^4]_a^b = 2c(b-a) \Rightarrow (b^2-a^2)-(b^4-a^4) = 2c(b-a)$. $(b-a)$ વડે ભાગતા,$(b+a)(1-(b^2+a^2)) = 2c$ મળે. $a+b=-\alpha$ હોવાથી,$-\alpha(1-(a^2+b^2)) = 2c$ મળે. $a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab = \alpha^2-2(\alpha^2-\frac{1}{2}) = 1-\alpha^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\alpha(1-(1-\alpha^2)) = 2c \Rightarrow -\alpha^3 = 2c$ મળે. વળી $ab\alpha = -c/4 \Rightarrow c = -4ab\alpha = -4\alpha(\alpha^2-1/2) = -4\alpha^3+2\alpha$. $2c = -2\alpha^3$ અને $2c = -8\alpha^3+4\alpha$ ને સરખાવતા,$6\alpha^3=4\alpha$ મળે. $\alpha 
eq 0$ હોવાથી,$\alpha^2 = 2/3$. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $\frac{2}{\sqrt{7}}$ છે.

Similar Questions

સંકલનની રીતનો ઉપયોગ કરીને,રેખાઓ $2x + y = 4$,$3x - 2y = 6$ અને $x - 3y + 5 = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$\{(x, y) : y^2 \leq 2x \text{ અને } y \geq 4x - 1\}$ દ્વારા વર્ણવેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

વર્તુળ $x^2+y^2=16a^2$ અને પરવલય $y^2=6ax$ વચ્ચેનો સામાન્ય પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

પરવલય $y^2 = x$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2$ ને બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે,જેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module