फलन f(x) को f(x)=(x+2) e^{-x} द्वारा परिभाषित | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = (x+2)e^{-x}$ है।वर्धमान और ह्रासमान के अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$

Vedclass · Accepted Answer

$(-1, \infty)$ में एकदिष्ट ह्रासमान और $(-\infty, -1)$ में एकदिष्ट वर्धमान है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया फलन $f(x) = (x+2)e^{-x}$ है।वर्धमान और ह्रासमान के अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{d}{dx}(x+2) \cdot e^{-x} + (x+2) \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x+2) \cdot (-e^{-x})$$f'(x) = e^{-x}(1 - (x+2))$$f'(x) = e^{-x}(1 - x - 2)$$f'(x) = -e^{-x}(x+1)$अब,हम $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं:चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $-(x+1)$ पर निर्भर करता है।$1$. यदि $x  0$ होगा। अतः,$f'(x) > 0$ है,और फलन $(-\infty, -1)$ में एकदिष्ट वर्धमान है।$2$. यदि $x > -1$ है,तो $(x+1) > 0$ होगा,इसलिए $-(x+1) इसलिए,फलन $(-\infty, -1)$ में वर्धमान और $(-1, \infty)$ में ह्रासमान है।

फलन $f(x)$ को $f(x)=(x+2) e^{-x}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

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वह अंतराल जिसमें फलन $f(x) = 2x^2 - \log x$,$x > 0$ के लिए ह्रासमान (decreasing) है,है

$x \in [1, 3]$ के प्रत्येक मान के लिए,फलन $f(x) = \frac{1}{8^x}$ है

निम्नलिखित में से कौन सा वर्धमान फलन (increasing function) है?

यदि $f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{cases}$ है,तो $f(x)$ है:

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