વિધેય $f(x) = x^x$ એ કયા અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે? $(x \in R^{+})$

નીચે આપેલા વિધાનો $S$ અને $R$ ધ્યાનમાં લો:
$S: \sin x$ અને $\cos x$ બંને અંતરાલ $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ માં ઘટતાં વિધેયો છે.
$R:$ જો વિધેય $f$ અંતરાલ $(a, b)$ માં ઘટતું હોય,તો તેનું વિકલિત $f'(x)$ પણ અંતરાલ $(a, b)$ માં ઘટતું હોય.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો $f(x)=(2 k+1) x-3-k e^{-x}+2 e^x$ એ તમામ $x \in R$ માટે મોનોટોનિકલી વધતું વિધેય હોય,તો $k$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $f(x) = x e^{x(1 - x)}$ હોય,તો $f(x)$ એ

$a$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો ગણ શોધો જેથી વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય $f(x) = x^3 + 2ax^2 + 3(a+1)x + 5$ તેના સમગ્ર પ્રદેશમાં ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય હોય.

વિધેય $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે?