फलन f(x) = x cdot e^{x(1-x)} है | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = x \cdot e^{x-x^2}$ है।वर्धमान या ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।गुणन नियम और श्रृंखला नियम

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$\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ में वर्धमान

Vedclass · Answer

(A) दिया गया फलन $f(x) = x \cdot e^{x-x^2}$ है।वर्धमान या ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$.$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)] = e^{x-x^2} (1 + x - 2x^2)$.द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $1 + x - 2x^2 = -(2x^2 - x - 1) = -(2x+1)(x-1) = (2x+1)(1-x)$.अतः,$f'(x) = e^{x-x^2} (2x+1)(1-x)$.फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{x-x^2} > 0$,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $(2x+1)(1-x)$ पर निर्भर करता है।$(2x+1)(1-x) \geq 0$ का अर्थ है $-\frac{1}{2} \leq x \leq 1$.इस प्रकार,फलन अंतराल $\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ में वर्धमान है।

फलन $f(x) = x \cdot e^{x(1-x)}$ है

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फलन $f(x) = 1 - x^3 - x^5$ किसके लिए ह्रासमान (decreasing) है?

वह अधिकतम अंतराल जिसमें वक्र $y=x^4+5x^3+9x^2+6x+2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की ढाल बढ़ती है, है

माना $f(x)=3 \sin ^{4} x+10 \sin ^{3} x+6 \sin ^{2} x-3$,जहाँ $x \in\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ है। तो,$f$ है $.....$

यदि $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$ एक वर्धमान फलन है,तो:

$x$ के प्रत्येक मान के लिए,फलन $f(x)=\frac{1}{a^{x}}, a>0$ है

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