फलन $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$ जहाँ $a > 0$ है, क्रमशः $p$ और $q$ पर स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान प्राप्त करता है। यदि $p^2 = q$ है, तो $a =$

मान लीजिए $f :[2,4] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $(x \ln x) f'(x) + (\ln x + 1) f(x) \geq 1$,सभी $x \in [2,4]$ के लिए,जहाँ $f(2) = \frac{1}{2}$ और $f(4) = \frac{1}{4}$ है। निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$(A): f(x) \leq 1$,सभी $x \in [2,4]$ के लिए
$(B): f(x) \geq \frac{1}{8}$,सभी $x \in [2,4]$ के लिए
तो,

मान लीजिए $p(x)$ न्यूनतम घात का एक वास्तविक बहुपद है जिसका $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम और $x=3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है। यदि $p(1)=6$ और $p(3)=2$ है,तो $p^{\prime}(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $p(x)$ तीन घात का एक बहुपद है जिसका $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम मान $8$ है और $x=2$ पर स्थानीय न्यूनतम मान $4$ है,तो $p(0)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि दो संख्याओं का योग $3$ है,तो पहली संख्या और दूसरी संख्या के वर्ग के गुणनफल का अधिकतम मान क्या होगा?

यदि $a$ के सभी मानों का समुच्चय,जिसके लिए समीकरण $5x^3 - 15x - a = 0$ के तीन भिन्न वास्तविक मूल हैं,अंतराल $(\alpha, \beta)$ है,तो $\beta - 2\alpha$ का मान . . . . . . है।