વિધેય f:R to left[ { - frac{1}{2},frac{1}{2}} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે $f:R 	o \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} ight]$ જ્યાં $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$.પ્રથમ,એક-એક (injective) ચકાસો:$f'(x) = \frac{(1 + x

Vedclass · Accepted Answer

વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે $f:R 	o \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} ight]$ જ્યાં $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$.પ્રથમ,એક-એક (injective) ચકાસો:$f'(x) = \frac{(1 + x^2)(1) - x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{(1 - x)(1 + x)}{(1 + x^2)^2}$.અહીં $f'(x)$ એ $x = 1$ અને $x = -1$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી વિધેય એકવિધ નથી,એટલે કે તે એક-એક નથી.હવે,વ્યાપ્ત (surjective) ચકાસો:ધારો કે $y = \frac{x}{1 + x^2}$. તો $yx^2 - x + y = 0$.$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.$D = (-1)^2 - 4(y)(y) = 1 - 4y^2 \ge 0$.$4y^2 \le 1 \Rightarrow y^2 \le \frac{1}{4} \Rightarrow y \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} ight]$.અહીં વિસ્તાર એ સહ-પ્રદેશ જેટલો જ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

વિધેય $f:R \to \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right],$ જે $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તે

Similar Questions

જો $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ દર્શાવતું હોય,તો $f(x)=|x|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ

વિધેય $f: Z \rightarrow Z$ માટે $f(x) = x^{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયની એક-એક (injectivity) અને વ્યાપ્ત (surjectivity) ચકાસો.

$f: N \rightarrow N, f(x) = x^3$ એ . . . . . . છે.

સાબિત કરો કે વ્યાપ્ત વિધેય $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ હંમેશા એક-એક હોય છે.

$f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f:R \to R$ એ

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module