अवकल समीकरण x^2+y^2-2xy frac{dy}{dx}=0 का व्य | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$ पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2xy \frac{dy}{dx} = x^2+y^2$ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{

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$x^2-y^2=Cx$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$ पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2xy \frac{dy}{dx} = x^2+y^2$ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$ $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$ चरों को पृथक करने पर: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{dx}{x}$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$ मान लीजिए $1-v^2 = t$,तो $-2v dv = dt$,अतः $2v dv = -dt$. $-\int \frac{dt}{t} = \int \frac{dx}{x} \Rightarrow -\ln|t| = \ln|x| + \ln|C_1|$ $-\ln|1-v^2| = \ln|x| + \ln|C_1| = \ln|C_1 x|$ $\ln|1-v^2|^{-1} = \ln|C_1 x| \Rightarrow \frac{1}{1-v^2} = C_1 x$ $v = y/x$ रखने पर: $\frac{1}{1-(y^2/x^2)} = C_1 x \Rightarrow \frac{x^2}{x^2-y^2} = C_1 x$ $\frac{x}{x^2-y^2} = C_1 \Rightarrow x = C_1(x^2-y^2)$ पुनर्व्यवस्थित करने पर $x^2-y^2 = Cx$ प्राप्त होता है (जहाँ $C = 1/C_1$ एक स्वेच्छ स्थिरांक है)।

अवकल समीकरण $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$ का व्यापक हल क्या है? (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है।)

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