अवकल समीकरण (1-x^{2}) frac{dy}{dx} + 2xy = x( | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ प्राप्त करने के लिए $(1-x^{2})$

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$y = \sqrt{1-x^{2}} + c(1-x^{2})$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ प्राप्त करने के लिए $(1-x^{2})$ से विभाजित करने पर:$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1-x^{2}}y = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$यहाँ,$P = \frac{2x}{1-x^{2}}$ और $Q = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$.समाकलन गुणक $(I.F.) = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1-x^{2}} dx} = e^{-\ln(1-x^{2})} = e^{\ln(\frac{1}{1-x^{2}})} = \frac{1}{1-x^{2}}$.व्यापक हल $y 	imes (I.F.) = \int Q 	imes (I.F.) dx + c$ है।$y 	imes \frac{1}{1-x^{2}} = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} 	imes \frac{1}{1-x^{2}} dx + c$$y 	imes \frac{1}{1-x^{2}} = \int x(1-x^{2})^{-\frac{3}{2}} dx + c$मान लीजिए $u = 1-x^{2}$,तो $du = -2x dx$,इसलिए $x dx = -\frac{1}{2} du$.$y 	imes \frac{1}{1-x^{2}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{3}{2}} du + c = -\frac{1}{2} \left( \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} ight) + c = u^{-\frac{1}{2}} + c = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + c$.दोनों पक्षों को $(1-x^{2})$ से गुणा करने पर:$y = \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} + c(1-x^{2}) = \sqrt{1-x^{2}} + c(1-x^{2})$.

अवकल समीकरण $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$ का व्यापक हल है

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अवकल समीकरण $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ ($x > 0$ के लिए) का हल वक्र है और $y(1) = 1$ है,तो $y(\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}-y=\cos x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{1+x^2}$ एक . . . . . . अवकल समीकरण है।

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