સંકલન frac{24}{pi} int_{0}^{sqrt{2}} frac{(2- | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(2-x^{2})}{(x^{2}+2) \sqrt{4+x^{4}}} dx$.અંશ અને છેદને $x^{2}$ વડે ભાગતા:$I = \frac{24}{\pi}

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(2-x^{2})}{(x^{2}+2) \sqrt{4+x^{4}}} dx$.અંશ અને છેદને $x^{2}$ વડે ભાગતા:$I = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(\frac{2}{x^{2}}-1)}{(1+\frac{2}{x^{2}}) \sqrt{\frac{4}{x^{2}}+x^{2}}} dx$.નોંધો કે $\sqrt{4+x^{4}} = x \sqrt{x^{2}+\frac{4}{x^{2}}}$.$I = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(\frac{2}{x^{2}}-1)}{(x+\frac{2}{x}) \sqrt{(x+\frac{2}{x})^{2}-4}} dx$.ધારો કે $t = x+\frac{2}{x}$,તો $dt = (1-\frac{2}{x^{2}}) dx$.જ્યારે $x 	o 0^{+}$,ત્યારે $t 	o \infty$. જ્યારે $x 	o \sqrt{2}$,ત્યારે $t 	o \sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.$I = -\frac{24}{\pi} \int_{\infty}^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^{2}-4}} = \frac{24}{\pi} \int_{2\sqrt{2}}^{\infty} \frac{dt}{t \sqrt{t^{2}-4}}$.$\int \frac{dt}{t \sqrt{t^{2}-a^{2}}} = \frac{1}{a} \sec^{-1}(\frac{t}{a})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{24}{\pi} [\frac{1}{2} \sec^{-1}(\frac{t}{2})]_{2\sqrt{2}}^{\infty} = \frac{12}{\pi} [\sec^{-1}(\infty) - \sec^{-1}(\sqrt{2})]$.$I = \frac{12}{\pi} [\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}] = \frac{12}{\pi} 	imes \frac{\pi}{4} = 3$.

સંકલન $\frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(2-x^{2}) dx}{(2+x^{2}) \sqrt{4+x^{4}}}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $\int \frac{d \theta}{\cos ^2 \theta(\tan 2 \theta+\sec 2 \theta)}=\lambda \tan \theta+2 \log _{e}|f(\theta)|+c$ (જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે),તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\lambda, |f(\theta)|)$ બરાબર શું થાય?

$-1 < x, y < 1$ માટે, જો $\int \frac{x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} dx + \int \frac{y}{\sqrt{y+1}+\sqrt{y-1}} dy = A(1+x)^{3/2} + B(1-x)^{3/2} + f(y)(y+1)^{3/2} + g(y)(y-1)^{3/2} + C$ હોય, તો $A f(y) + B g(y) =$

ધારો કે $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિકલિત (antiderivative) છે. તો $\ln(1 + (g(x))^2)$ એ કોનું પ્રતિવિકલિત છે?

$\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module