વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^3 - 3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો $y = \left(\frac{2}{\pi} x - 1\right) \operatorname{cosec} x$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + p(x) y = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $0 < x < \frac{\pi}{2}$,તો વિધેય $p(x)$ ની કિંમત શોધો.

જો વિકલ સમીકરણ $(x^{2}-4)y^{\prime}-2xy+2x(4-x^{2})^{2}=0$ માટે $x>2$ હોય અને તેનો ઉકેલ વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(3, 15)$ માંથી પસાર થતો હોય, તો $f$ ની સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ $(x \neq 0)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

એક વિધેય $f(x)$ એ શરત $f(x) = f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \dots \infty$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $f(x)$ એ અનંત વિકલનીય વિધેય છે અને ડેશ એ વિકલનનો ક્રમ દર્શાવે છે. જો $f(0) = 1$ હોય,તો $f(x)$ શું છે?