$Q^{+}$ के सभी धनात्मक परिमेय संख्याओं के समूह में द्वि-आधारी संक्रिया $*$ जो $a * b = \frac{ab}{2010}, \forall a, b \in Q^{+}$ द्वारा परिभाषित है,में $2010$ का प्रतिलोम क्या है?

मान लीजिए कि $^*$ समुच्चय $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a \, ^* \, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ द्वारा दी गई है। $N$ में $^*$ के लिए तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए।

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषा एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है या नहीं। यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य बताइए। $Z^{+}$ पर,$*$ को $a * b = a - b$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

यदि $A = \{a, b, c\}$ है,तो $A$ पर द्वि-आधारी संक्रियाओं (binary operations) की संख्या है

$R - \{-1\}$ पर परिभाषित द्विआधारी संक्रिया $*$ जहाँ $a * b = \frac{a}{b+1}$ है,वह है:

$R$ पर योग संक्रिया '$+$' के लिए दर्शाइए कि $-a$,$a$ का प्रतिलोम है और $a \neq 0$ के लिए गुणन संक्रिया '$\times$' के लिए $\frac{1}{a}$,$a$ का प्रतिलोम है।