$x$-અક્ષને સમાંતર હોય અને વક્ર $y = \sqrt{x}$ ને $\frac{\pi}{4}$ ના ખૂણે છેદતી રેખા કઈ છે?

ધારો કે $g(x)$ એક સુરેખ વિધેય છે અને $f(x) = \begin{cases} g(x) & , x \leq 0 \\ \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}} & , x > 0 \end{cases}$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે. જો $f^{\prime}(1) = f(-1)$ હોય,તો $g(3)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} 3-x & \text{જો } x < -3 \\ 6 & \text{જો } -3 \leq x \leq 3 \\ 3+x & \text{જો } x > 3 \end{cases}$. ધારો કે $\alpha$ એ $f$ ના અસતત બિંદુઓની સંખ્યા છે અને $\beta$ એ એવા બિંદુઓની સંખ્યા છે જ્યાં $f$ વિકલનીય નથી. તો $\alpha+\beta=$

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} e^{x-1}; x < 0 \\ x^2-5x+6; x \ge 0 \end{cases}$ અને $g(x) = f(|x|) + |f(x)|$ છે. જો $g$ અસતત હોય અને વિકલનીય ન હોય તેવા બિંદુઓની સંખ્યા અનુક્રમે $\alpha$ અને $\beta$ હોય, તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત ———— છે.

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} 3x, & x < 0 \\ \min \{1+x+[x], x+2[x]\}, & 0 \leq x \leq 2 \\ 5, & x > 2 \end{cases}$ જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ એવા બિંદુઓની સંખ્યા હોય જ્યાં $f$ સતત નથી અને વિકલનીય નથી,તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત ....... થાય.

ધારો કે $f$ અને $g$ એ અંતરાલ $(-1, 1)$ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેયો છે,જેથી $g^{\prime \prime}(x)$ સતત છે,$g(0) \neq 0$,$g^{\prime}(0) = 0$,$g^{\prime \prime}(0) \neq 0$,અને $f(x) = g(x) \sin x$.
$\text{વિધાન}-1$: $\lim_{x \rightarrow 0} [g(x) \cot x - g(0) \operatorname{cosec} x] = f^{\prime \prime}(0)$.
$\text{વિધાન}-2$: $f^{\prime}(0) = g(0)$.