रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या ($L$.$P$.$P$.) $z = 30x + 20y$ का न्यूनतमीकरण करें,जो शर्तों $x + y \leqslant 8$,$x + 2y \geqslant 4$,$6x + 4y \geqslant 12$,$x \geqslant 0$,और $y \geqslant 0$ के अधीन है:

एक उत्पादन इकाई तांबे और पीतल को मिलाकर एक विशेष प्रकार की मेटल चिप बनाती है। चिप का मानक वजन कम से कम $5 \text{ gms}$ होना चाहिए। मूल सामग्री,यानी तांबा और पीतल,की लागत क्रमशः $₹8$ और $₹5$ प्रति $\text{gm}$ है। स्थायित्व संबंधी विचारों के अनुसार,मेटल चिप में $4 \text{ gms}$ से अधिक पीतल नहीं होना चाहिए और इसमें कम से कम $2 \text{ gms}$ तांबा होना चाहिए। तो,उपरोक्त शर्तों को पूरा करने वाली मेटल चिप की न्यूनतम लागत है:

वह बिंदु,जिस पर $10x + 6y$ का अधिकतम मान,बाधाओं $x + y \leq 12$,$2x + y \leq 20$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ के अधीन प्राप्त होता है,है

एक कंपनी फैक्ट्री $I$ और फैक्ट्री $II$ में कैलकुलेटर के $3$ मॉडल बनाती है: $A, B$ और $C.$ कंपनी के पास मॉडल $A$ के कम से कम $6400,$ मॉडल $B$ के $4000$ और मॉडल $C$ के $4800$ कैलकुलेटर के ऑर्डर हैं। फैक्ट्री $I$ में प्रतिदिन मॉडल $A$ के $50,$ मॉडल $B$ के $50$ और मॉडल $C$ के $30$ कैलकुलेटर बनते हैं; फैक्ट्री $II$ में प्रतिदिन मॉडल $A$ के $40,$ मॉडल $B$ के $20$ और मॉडल $C$ के $40$ कैलकुलेटर बनते हैं। फैक्ट्री $I$ और $II$ को चलाने में प्रतिदिन क्रमशः $Rs. 12000$ और $Rs. 15000$ का खर्च आता है। परिचालन लागत को कम करने और मांग को पूरा करने के लिए प्रत्येक फैक्ट्री को कितने दिन चलना चाहिए,यह ज्ञात कीजिए।

उद्देश्य फलन $z = 4x + 5y$ के लिए,अवरोधों $2x + y \geq 7$,$2x + 3y \leq 15$,$y \leq 3$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ के अंतर्गत न्यूनतम मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है?

$Z = x + y$ को अधिकतम करने के लिए $L$.$P$.$P$.,जो $x + y \leq 1$,$2x + 2y \geq 6$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ के अधीन है,का: