आर्गंड समतल पर सम्मिश्र संख्या z द्वारा निरूप | vedclass

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Question

(A) दी गई शर्त $\left|\frac{z-1+i}{z+1-i}ight|=\left|\operatorname{Re}\left(\frac{z-1+i}{z+1-i}ight)ight|$ है, जहाँ $z 
eq -1+i$. माना $w = \fr

Vedclass · Accepted Answer

एक सीधी रेखा जिसमें बिंदु $(-1+i)$ शामिल नहीं है

Vedclass · Answer

(A) दी गई शर्त $\left|\frac{z-1+i}{z+1-i}ight|=\left|\operatorname{Re}\left(\frac{z-1+i}{z+1-i}ight)ight|$ है, जहाँ $z 
eq -1+i$. माना $w = \frac{z-1+i}{z+1-i}$. शर्त $|w| = |\operatorname{Re}(w)|$ है। किसी भी सम्मिश्र संख्या $w = u + iv$ के लिए, $|w| = \sqrt{u^2 + v^2}$ और $|\operatorname{Re}(w)| = |u| = \sqrt{u^2}$. अतः, $\sqrt{u^2 + v^2} = \sqrt{u^2} \implies u^2 + v^2 = u^2 \implies v^2 = 0 \implies v = 0$. इसका अर्थ है कि $\operatorname{Im}(w) = 0$, इसलिए $w$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए। माना $z = x + iy$. तब $w = \frac{(x-1) + i(y+1)}{(x+1) + i(y-1)}$. अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $w = \frac{((x-1) + i(y+1))((x+1) - i(y-1))}{(x+1)^2 + (y-1)^2}$. $w$ का काल्पनिक भाग शून्य होगा जब अंश का काल्पनिक भाग शून्य हो: $(x-1)(-(y-1)) + (y+1)(x+1) = 0$. $-xy + x + y - 1 + xy + x + y + 1 = 0$. $2x + 2y = 0 \implies x + y = 0$. चूंकि $z 
eq -1+i$, बिंदु $(-1, 1)$ रेखा $x+y=0$ से बाहर है। अतः, बिंदुपथ एक सीधी रेखा है जिसमें बिंदु $(-1+i)$ शामिल नहीं है।

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