ઉપવલય frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 ના | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. ઉપવલયનો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

Vedclass · Accepted Answer

એક વર્તુળ

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. ઉપવલયનો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો આ સ્પર્શક બિંદુ $(h, k)$ માંથી પસાર થાય,તો $k - mh = \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(k - mh)^2 = a^2m^2 + b^2$,જે $k^2 - 2mhk + m^2h^2 = a^2m^2 + b^2$ માં પરિણમે છે. $m$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $m^2(h^2 - a^2) - 2mhk + (k^2 - b^2) = 0$. સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = -1$ થાય. દ્વિઘાત સમીકરણ $Am^2 + Bm + C = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{C}{A}$ છે. તેથી,$\frac{k^2 - b^2}{h^2 - a^2} = -1$. $k^2 - b^2 = -(h^2 - a^2) \implies h^2 + k^2 = a^2 + b^2$. $(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ મળે છે,જે એક વર્તુળ છે જેને નિયામક વર્તુળ (director circle) કહેવાય છે.

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

Similar Questions

જો $x+\sqrt{3} y=3$ એ ઉપવલય $2 x^2+3 y^2=k$ પરના બિંદુ $P$ આગળનો સ્પર્શક હોય,તો આ ઉપવલય માટે $P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ શું થાય?

ઉપવલય $\left( \frac{x - 3}{y} \right)^2 + \left( 1 - \frac{4}{y} \right)^2 = \frac{1}{9}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

એક ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો,જેના શિરોબિંદુઓ $(2, -2)$ અને $(2, 4)$ છે અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{1}{3}$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module