${x^{1/x}}$ का अधिकतम मान क्या है?

दिया गया है कि एक आयत को उसकी एक भुजा के परितः घुमाने पर प्राप्त ठोस एक बेलन है। यदि आयत का परिमाप $48 \text{ cm}$ है और इसे घुमाने पर बने बेलन का आयतन अधिकतम है,तो उस आयत की विमाएँ हैं:

फलन $f(x) = \frac{40}{3x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 60}$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f_1:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ और $f_2:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t - j)^j dt, x > 0$
और
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450, x > 0,$
जहाँ,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ और वास्तविक संख्याओं $a_1, a_2, \ldots, a_n$ के लिए,$\prod_{i=1}^n a_i$ का अर्थ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ का गुणनफल है। मान लीजिए $m_i$ और $n_i$ क्रमशः अंतराल $(0, \infty)$ में फलन $f_i, i=1, 2$ के स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम बिंदुओं की संख्या को दर्शाते हैं।
$(1)$ $2m_1 + 3n_1 + m_1n_1$ का मान है।
$(2)$ $6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2$ का मान है।
$(1)$ और $(2)$ के लिए उत्तर दें।

मान लीजिए $x$ और $y$ दो चर हैं जहाँ $x > 0$ और $xy = 1$ है। तो $x + y$ का न्यूनतम मान क्या है?

यदि एक समलंब चतुर्भुज की आधार के अलावा अन्य तीन भुजाओं की लंबाई $10 \ cm$ है,तो समलंब चतुर्भुज का अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।