alpha का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए सम | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = \frac{4}{\sin x} + \frac{1}{1-\sin x}$.माना $t = \sin x$. चूँकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $t \in (0, 1)$.तब $f(t) = \frac{4}{t

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$9$

Vedclass · Answer

(B) माना $f(x) = \frac{4}{\sin x} + \frac{1}{1-\sin x}$.माना $t = \sin x$. चूँकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $t \in (0, 1)$.तब $f(t) = \frac{4}{t} + \frac{1}{1-t}$.न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$f'(t) = -\frac{4}{t^2} + \frac{1}{(1-t)^2}$.$f'(t) = 0$ रखने पर,हमें $\frac{1}{(1-t)^2} = \frac{4}{t^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(1-t)^2 = \frac{t^2}{4}$.वर्गमूल लेने पर,$1-t = \frac{t}{2}$ (चूँकि $t \in (0, 1)$),इसलिए $1 = \frac{3t}{2}$,जिससे $t = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।चूँकि $t = \frac{2}{3}$ अंतराल $(0, 1)$ में है,इसलिए न्यूनतम मान $f(\frac{2}{3}) = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{1-2/3} = 6 + 3 = 9$ है।अतः,$\alpha$ का न्यूनतम मान जिसके लिए समीकरण का कम से कम एक हल हो,$9$ है।

$\alpha$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण $\frac{4}{\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}=\alpha$ का $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में कम से कम एक हल हो।

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