$r$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान वाले एक वृत्ताकार वलय (ring) का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या है?

यदि समान त्रिज्या और घनत्व वाला एक ठोस गोला और एक ठोस बेलन अपनी स्वयं की अक्ष के परितः घूर्णन करते हैं,तो किसका जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) अधिक होगा? ($L = R$ मानिए)

चित्र में दिखाए गए अनुसार,समान द्रव्यमान के एक खोखले गोले और एक ठोस बेलन की उनके व्यास अक्ष $AB$ के परितः जड़त्व आघूर्ण के लिए,उनकी घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $\sqrt{\frac{8}{x}}$ है। $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

$Assertion$ (कथन) : जड़त्व आघूर्ण घूर्णन अक्ष और पिंड के द्रव्यमान के वितरण की प्रकृति पर निर्भर करता है।
$Reason$ (कारण) : जड़त्व आघूर्ण पिंड का घूर्णी जड़त्व है।

समान पदार्थ से बनी $R$ और $nR$ त्रिज्या वाली दो वलयों (rings) की उनके केंद्र से गुजरने वाली और उनके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $1:8$ है। $n$ का मान ज्ञात कीजिए (प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $= \lambda$)।

$R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान वाले एक ठोस गोले की उसके व्यास के परितः घूर्णन त्रिज्या $K_d$ है और उसके स्पर्शरेखा के परितः घूर्णन त्रिज्या $K_t$ है। $K_d$ और $K_t$ का अनुपात क्या है?